(til gthth, stjórnanda áhugamálsins: Ég ætla að nota html-kóða í þessa grein.
Ef hann virkar ekki og allt fer úrskeiðis ætla ég að biðja þig að henda henni
og láta mig vita. Takk fyrir)

Sælir hugarar.
Ég býst við að allt stærðfræðitengt hljóti að eiga heima hér á vísindi og fræði.

Ég hef verið að velta fyrir mér óræðum tölum upp á síðkastið. Mér finnst ég enn
ekki hafa fengið svar við einni augljósri en þó dularfullri spurningu varðandi
óræðar tölur. Og svo hef ég komist að nokkrum áhugaverðum hlutum um þær.

Í fyrsta lagi það að allar ferningsrætur heiltalna eru óræðar, nema þær séu
ferningstölur.

Sönnun: Gefum okkur x ∈ Z, x er ekki ferningstala.
(x ∈ Z þýðir að x er í mengi heiltalna, þeas er heil. Ef x er ferningstala
þýðir það að einhver heiltala í öðru veldi jafngildi x).

Okkur er ljóst að √x er ekki heiltala. Látum (a/b)² = x, þar
sem a ∈ Z, b ∈ Z og a og b hafa ekki stærri sameiginlegan þátt en 1,
þeas brotið a/b er fullstytt, b ≠ 0, og b ≠ 1. Við erum hér að gera ráð
fyrir að √x sé ræð, þ.e. sé táknanleg sem almennt brot. Hér á eftir
sýnum við síðan að slíkt gangi ekki upp.

Ef a er minna en b er (a/b)² < 1, sem gengur aðeins upp í því eina
tilviki að x = 0. 0 er hægt að telja 0 til ferningstalna, svo það getur ekki
staðist.

Ef a = b er (a/b)² = 1, sem gengur heldur ekki.

Því er a stærra en b.

Til að (a/b)² = a²/b² sé heil þarf b² að ganga upp í a².
En þar sem a² og b² eru ferningstölur hvor fyrir sig innihalda þær tvö eintök
af öllum frumþáttum sínum. Þannig að ef b² gengur upp í a² inniheldur a²
alla þætti b², en tvo aukalega, sem gera kvóta þeirra að ferningstölu.

Þá sést að ef (a/b)² = a²/b² = x er heiltala er hún óhjákvæmilega einnig
ferningstala. Það stangast á við að x sé það ekki, svo √x er óræð.
Þetta segir okkur einnig að ekki sé hægt að margfalda brot með sjálfu sér og fá
út heila tölu, því eru einu ræðu heiltöluræturnar þær sem eru sjálfar heilar,
þeas þau tilvik þar sem x er ferningstala.

Sönnun lokið.

Ég vil minnast á að ég fékk smá hjálp frá VeryMuch við þetta (atriðið með frum-
þættina), og hann á lof skilið fyrir það.

Núna getum við bætt við sönnunina, það er ekkert skilyrði að við séum að tala um
ferningsrætur. Ef b² gengur upp í a² og þær eru báðar heilar og mynda
fullstytt brot eins og lýst var hér að ofan, fæst að kvóti þeirra verður
heiltala í veldinu n. Því getum við einnig fullyrt:

Ef x ∈ Z og engin tala n² = x, þar sem n ∈ Z er x^1/n óræð
tala.

Þannig er til dæmis ferningsrót 8 óræð, þriðja rót 7 óræð, en fjórða rót 81 ræð.

Núna erum við búin að kortleggja allar óræðar heiltölurætur, hvað þá með brot?
Er einhver leið að vita hvort rót einhvers tiltekins brots sé óræð eða ekki?
Svarið er já.

Við skulum byrja á að skoða tölu af forminu nx², þar sem n ∈ Z og
x ∈ Q (þeas x er ræð - í mengi ræðra talna). √(nx²) = x√n
Svo ef n er ekki ferningstala er √(nx²) óræð. Sömu sögu má segja af
öllum tölum á forminu √(nx^m), þeas, ef n er ekki heiltala í veldinu m er
√(nx^m) óræð.

Einu skilyrði sem sett eru er að n sé heil og x sé ræð.

Nú skulum við gefa okkur brotið a/b aftur. Núna langar okkur að finna út hvort
√(a/b) sé óræð eða ekki. Um öll brot a/b gildir: a/b = ab(1/b)².

Við notum þekkingu okkar á tölum á forminu xn^m til að sýna að √(a/b) sé
óræð ef a*b er ekki ferningstala.

Að finna út hvort (a/b)^1/m sé óræð er aðeins meira vesen. Við setjum
(a/b)^1/m í formið nx^m: (a/b)^1/m = ab^m-1(1/b)^m. Sem sagt ef við
viljum vita hvort (a/b)^1/m sé óræð þurfum við að finna hvort ab^m-1 sé
heiltala í veldinu m. Ef svo er er hún ræð, annars ekki.

Hér með höfum við fundið allar óræðar rætur sem til eru. (nema kannski þær
rætur sem hafa ekki heiltölustuðla).

Óræðar tölur eru jafnan taldar til rauntalna, sem eru allar tölur sem komast
fyrir á talnalínu. Til að sanna að óræðar tölur séu einnig rauntölur er hægt að
benda á að rétthyrndur þríhyrningur með jafnlangar skammhliðar hefur langhlið
sem er margfeldi af √2. Með því að setja annan endapunkt við byrjun
talnalínunnar(þar sem núllið er) hittir hinn endapunkturinn punktinn sem svara
til √2. En hér erum við komin að merg málsins!

Hvernig getur lengd verið óræð tala? Þetta hef ég aldrei skilið. Ég spurði
stærðfræðikennarann minn, sem sagði mér einfaldlega að þetta væri rauntala,
ekkert bogið við það. Sönnunin hér að ofan segir okkur að óræðar tölur séu
rauntölur, en útskýrir ekki sjálfa sig. HVERNIG getur það staðist? Fjöldi
annarra þríhyrninga þjást af sama vanda.

Nú get ég vel skilið að hringur hafi ummál sem er órætt, fullkominn hringur er
jú ómögulegur. Sönnunin á því að Π sé rauntala gengur út á að velta hring
með radíus 1 eftir talnalínunni og enda á Π. Að sjálfsögðu er enginn hringur
það fullkominn að hann hitti akkúrat, þess vegna finnst mér óræðni Π ekkert
nema sjálfsögð.

En hvað með þríhyrningana? Ekki er fullkominn rétthyrndur þríhyrningur með
jafnlangar skammhliðar ómögulegur?

Eða skammhliðarnar 1 og 2, 1 og 3, 1 og 4, 1 og 5, … ? (n²+1 er að
sjálfsögðu óræð).
Eða 2 og 3 (4+9=13), 6 og 7 (36+49=85), 8 og 14 (64+196=160).

Lang-lang-flestir þríhyrningar af þessu tagi hafa óræðar langhliðar, en EKKI
allir! Hvernig getur það staðir? Talnafræðilega er vandinn ekki mikill.
En þegar út í rúmfræðina kemur verður hann að skelfilegri mótsögn.

Nú, ef einhver getur útskýrt þetta fyrir mér eða ef einhver finnur villu í
greininni, endilega segið eitthvað.

Takk fyrir mig!