Búinn að eyða smá tíma í þetta hérna.

Til að leysa fyrsta vandamálið þá byrjaði ég á að finna út
hverjar séu líkurnar á því að hæsti teningurinn sé einhver gefin tala.

Líkurnar á að hæsti teningur sé 1 er augljóslega (1/6)^n.
Líkurnar á því að hæsti teningur sé 6 er (1-(5/6)^n),
þ.e. einn mínus líkurnar á því að allir teningarnir séu ekki 6.

Það að reikna út líkurnar á að hæsti teningurinn sé 2 er töluvert meira mál.

Eftir töluverða umhugsun komst ég að þeirri niðurstöðu að auðveldasta aðferðin til að reikna út að hæsti teningur hafi gildið p er svona:

Byrjum á því að finna líkurnar á því að allir teningarnir taki gildið p eða lægra. Auðvelt er að sjá að þær eru
(p/6)^n.

Næst reiknum við líkurnar á því að enginn teningur taki gildið p, gefið að allir teningarnir taki gildið
p eða lægra. En þær eru
((p-1)/p)^n.

Þar með sést að líkurnar á því að hæsti teningur taki gildið p er (p/6)^n*(1-((p-1)/p)^n).

Þá er auðvelt að reikna út að væntigildi(meðalútkoma)
hæsta tenings, ef n teningum er kastað, er

6 - (summan frá 1 til 5) (i/6)^n

þ.e.

6-((1/6)^n + (2/6)^n + (3/6)^n + (4/6)^n + (5/6)^n).



Ég nenni ekki að sýna á sama hátt útreikningana fyrir seinna dæmið en ég reiknaði út líkurnar á því að Gunna vinni
en þær eru 47,16%, svo að Jón vinnur oftar.


Vona að þetta sé allt rétt hjá mér.

Hver þarf að kunna stærðfræði þegar hann hefur wikipedia?
http://en.wikipedia.org/wiki/Risk_%28game%29#Dice_probabilities