Jæja, eftir að hafa ekki látið sjá mig hérna í háa herrans tíð
kemur smá stærðfræði.

Félagi minn var að leika sér með vasareikni og komst að því að
slá inn stærð sem innihélt breytu, geyma svarið í breytunni og
slá inn stærðina nokkrum sinnum í röð “lagaði” stærðin sig að
ákveðnu gildi.

Sem er dæmi má nefna 5 + 0.5*ans, þar sem ans er svarið úr
síðasta dæmi, lagar sig að tölunni 10. Og það skipti engu máli
hvað ans var upphaflega (gæti verið 100.5, 2^10 eða 0.89).

Hann prófaði að setja fram jöfnu:

k + h(k + h(k + h(k + …))) = k * (1/(1-h)),

sem fékkst með prófun. Þetta gildir fyrir öll k, en bara fyrir
-1 < h < 1.


Ég hjálpaði honum síðan við að finna sönnunina:

k + h(k + h(k + …)) =
k + kh + kh^2 + kh^3 + … h^n (eftir n skipti).

Það þarf óendanlega mörg skipti til að tala lagi sig endanlega
að gildinu, svo n = inf. Þá er h^n = 0, þar sem
-1 < h < 1.

Nú er hægt að þátta:
k + kh + kh^2 + kh^3 + … + h^n =
k*(1 + h + h^2 + h^3 + … + h^n/k)

Prófum jöfnuna:
k*(1/(1-h)) = k*(1 + h + h^2 + h^3 + … + h^n/k).

h^n = 0, svo h^n/k = 0. Þátturinn k styttist út báðum megin
(varúð, k má þá ekki vera núll) og úr því fæst:
1/(1-h) = 1 + h + h^2 + h^3 + … <=>
1 = (1-h) + (1-h)*h + (1-h)*h^2 + (1-h)*h^3 + … <=>
1 = 1 - h + h - h^2 + h^2 - h^3 + h^3 + … = 1

Þetta stenst, svo sönnun er lokið.

Nú spyr ég, er þetta eitthvað þekkt fyrirbæri innan
stærðfræðinnar sem við vorum að uppgötva?

Eða er villa í sönnuninni?
<br><br>
“I'll knock your socks!”