Þar sem ekkert hefur bólar á fjórðu víddinni eða öðrum álíka furðulegum hugmyndum
um víddir hér upp á síðkastið ætla láta í mér heyra.

Við munum fyrst fara í gegnum venjulegu rúmvíddirnar þrjár og af hverju þær henta
eða henta ekki til útskýringar á raunveruleikanum. Með í pakkanum fylgir smá
Evklíðsk rúmfræði og hnitakerfið hans Descartes.

Svo verður víddarhugtakið per se skoðað, fjórða víddin sem tími og smá-afstæði.

Eftir það er ekkert sem mælir á móti því að kynna “phase space”, eða rúm með
fleiri rúmvíddum en þremur, og að lokum fractal víddir, með brotnum víddum.

Ég mun reyna að nota stærðfræðina til að brjóta niður rotgrónar hugmyndir um
víddirnar, aðeins með stærðfræðilegum aðferðum getum við komist yfir þessa
venjulegu hugmynd um þrívídd. Víddir eru líka fyrst og fremt stærðfræðileg
hugtök.

Fyrsta víddin:
Fyrsta víddin er skilgreind sem lína. Á línu er hægt að fara fram og til baka.
venjulegt talnakerfi er “einvítt”, þar sem hægt er að láta allar venjulegar tölur
passa á talnalínu.

Ef við tökum kerfi sem samanstendur af einni breytu er það einvítt. Frelsisgráða
kerfinins er 1. Frelsisgráða kerfis stendur fyrir hversu margar breytur eru í
því.

Önnur vídd:
Ef við bætum við breytu í kerfið er talnalína ekki nóg. Nú er um að ræða tvær
tölur sem þarf að staðsetja. Tvær breytur þýðir að frelsisgráðan er tveir.
Það sem frelsisgráðan segir okkur er að hægt er að færa *punkt* (fram og til baka)
í tvær áttir, þeas, lóðrétt og lárétt.

Það sem gera þarf er að bæta við annarri línu, þversum á hina. Þannig er, á
grafískan hátt hægt að teikna upp stöðu kerfis samkvæmt breytum þess.

Það var heimspekingurinn René Descartes sem fann upp þessa aðferð við að teikna
jöfnur upp á auðveldan hátt. Jafna sem inniheldur tvær breytur (vanalega x og y)
er hægt að sýna á tvívíðum fleti, þar sem x og y eru staðsett á tveimur talnalínum.

Tvær víddir eru, í sem stystu máli, flötur.

ATH: Punktur er venjulega skilgreindur sem hlutur með óendanlega litla stærð.
Þetta finnst mér villandi þar sem punktur er yfirleitt hnit og hnit hafa ekki
eiginleikan stærð. Þetta er eins og að spyrja hversu stór miðja hlutar er.
Þarafleiðandi mun ég nota orðið “hnit” í staðinn fyrir “punktur” framvegis.

Þriðja vídd:
Við bætum við fyrra kerfið okkar breytunni z. Nú er frelsisgráða kerfisins orðin
3, og víddirnar hækka í hlutfalli. Nú er hægt að hreyfa hnitið okkar upp og
niður, fram og aftur, inn og út.

Umhverfi okkar er ávalt talið í þrem víddum vegna þess að það þarf nákvæmlega
þrjár víddir til að staðsetja punkt í rúminu.

Fjórða vídd sem tími:
Enn bætum við við breytu, t. Svo til að staðsetja (og nú einnig tímasetja) hlut
þarf fjórar víddir til þess. Nú er hægt að fara fram og aftur, upp og niður,
inn og út, auk þess sem taka þarf fram hvenær.

Í þessu samhengi þarf engan að undra að tími sé notaður sem vídd.

Umhverfi okkar sýnir að það er einkar hentugt að líta á tíma og rúm sem samfellu.
Sérstaklega þar sem víddirnar eru að nokkru leiti háðar hvor annarri.

Ef hlutur færist mjög hratt eftir x-ásnum hefur það til dæmis áhrif á hnitið t.
sem er tíminn. Ímyndum okkur tvö kerfi, annað á hreyfingu, hitt kyrrt, sem
mætast. Látum K standa fyrir kyrrt kerfi, K' fyrir kerfi á hreyfingu. Þá gilda
jöfnurnar:

x' = x - vt
y' = y
z' = z
t' = t - vx/c^2

Þarna sést glöggt að tími og rúm eru í raun samfelld og því óhætt að tala um
“tímarúm” sem fjórvítt rúm.

En hið fjórvíða tímarúm gerir í raun engan mun á tíma og rúmi. Þetta eru bara
breytur, ásar til að staðsetja hnit. Stærðfræðin þarf ekki að binda sig við
þrjár eða fjórar víddir. Í raun er hægt að setja hvaða breytur sem er í staðinn
fyrir staðsetningu raunverulegs hlutar.

En víddir eru ekki einungis notaðar við staðsetningu. Þær þurfa einnig að sjá
um stærðir, eða hversu mikið rúm hlutur tekur.

Venjuleg lína getur haft lengd. Tvívíður hlutur hefur flatarmál og þrívíður
rúmmál. Til að reikna út þessar stærðir er yfirleitt stuðst við rúmfræði Evklíðs.
Þessi rúmfræði gerir ráð fyrir nokkrum hlutum, sem dæmi: Styðsta leiðin milli
tveggja punkta er lína, línur eru samsíða ef þær mætast aldrei. Þessar
frumsetningar eru byggðar á engu öðru en heilbrigðri skynsemi.

Hvað varðar þetta víddir?

Jú, stærð hlutar er algjörlega háður víddum. Lína af lengdinni 1 cm er 1^1 cm
að lengd. ferningur með hliðarlengd 4 er 4^2 = 16cm^2 að flatarmáli, teningur með
sömu lengd er 4^3 = 64cm^3 að rúmmáli.

Sem sagt: stærð hlutar í x-vídd er lengd^x.
(eða, til að gæta ítrustu nákvæmni: x*y*z*… fyrir allar lengdir hlutarins)

En þessi rúmfræði byggir á því að ein eining sé alltaf á einhvern hátt afbrigði
fernings. Tölurnar eru reiknaðar eftir því hversu margir ferningar (eða teningar,
eða hyper-kubbar) komast fyrir í hlutnum sem mæla á.

Líklega kannast flestir við fyrstu stærðfræðidæmin þar sem sýndar voru myndir og
kubbum raðað í myndirnar til að sýna hvernig þetta virkar.

Eins og við munum sjá hér á eftir er þetta þó ekki alltaf besta leiðin.

Núna getum við skilgreint vídd sem “fjöldi hnita sem þarf til að lýsa stærð og
stöðu hlutar”.

Handan þriðju víddarinnar - “phase space”:
Þar sem við erum komin með ágætis skilgreiningu á vídd er hægt að leika sér
aðeins með þær. Af hverju, til dæmis, að hafa þær tvær eða þrjár?

Víddir eru oft notaðar til að tákna ferli, sýnt sem graf. Venjan er að nota
tímahnit og síðan tölu til að skoða hvernig hún breytist með tímanum sem líður.
Við getum látið tímann ‘t’ tákna tölu frá 0 og upp og breytuna sem prófa á x.

Ef við tökum cos fallið sem dæmi kæmi í ljós bylgja sem fer frá vinstri til hægri,
og upp og niður með reglubundnu millibili. Grafið er í tvívídd.

x = cos(t)
y = t

Ef x væri föst tala kæmi bein lína í ljós.

x = 10
y = t

Ef sin fallið væri tekið sem sæmi kæmi í ljós bylgja, ekki ósvipuð þeirri sem
cos fallið sýndi. Hvað ef við vildum vita hvort eitthvað samband væri á milli?

x = sin(t)
y = t

í stað tímans t getum við þá notað sin og þannig prófað cos á móti sin.

x = cos(t)
y = sin(t)

Nú gætum við séð að nákvæmt samband er á milli þessara tveggja falla, þegar
cos lækkar, þá hækkar sin í nákvæmu hlutfalli og öfugt. Föllin eru HÁÐ hvor öðru.
Nú myndi grafið sýna hring. Breytur í hlutfalli við hvor aðra mynda hring.

Að bera breytur saman við hvor aðra, í staðinn fyrir tíma er dæmigert fyrir
notkun á “phase space”.

Tökum annað dæmi, pendúll á klukku:
Við byrjum á línuriti fyrir hreyfingu pendúlsins. Ef pendúllinn er knúinn áfram
af ávallt sama krafti myndar hann svipaða bylgju og cos fallið. Ef hann er látinn
vera hægir hann smám saman á sér og stöðvast að lokum. grafið myndi sýna bylgjur
sem minnkuðu smám saman niður í ekki neitt. Ef hann hins vegar hraðaði sér í
sífellu myndu bylgjurnar stækka. Þetta er nokkuð augljóst.

En hvað ef við hins vegar ætluðum að bera saman hraða pendúlsins og stöðu hans?
Við gætum gert tvö mismunandi gröf (línurit) fyrir ferð hans og halla EÐA við
gætum gætum borið þessar breytur saman í tvívíðu rúmi. Fylgist með:

x = v (velocity)
y = theta (halli í gráðum, fjarlægð má miðju)

Þegar pendúllinn fer niður og nálgast miðjuna lækka gráðurnar á hallanum og í
nákvæmu hlutfalli við það eykst hraðinn. Þegar pendúllinn er kominn alla leið
niður og fer upp aftur hinum megin eykst hallinn (gildið á y) aftur en hraðinn
(x) lækkar.

Þess vegna myndi grafið sýna hring. Ef pendúllinn myndi hægja á sér kæmi spírall
sem endaði í miðju myndarinnar og stöðvaðist þar. Ef hann hins vegar jyki ferð
sína myndi grafið sýna spíral sem sífellt stækkar.

En hvað hefur “phase space” með þetta að gera? Hvað er annars “phase space” (sem
ég hef átt í stökustu vandæðum með að þýða, sem veldur því að ég ætla að taka
gæsalappirnar af því ósnöruðu).

Phase space er rúm sem hefur óendanlega margar víddir, eða eins margar og þú
mögulega þarft. Phase space sýnir ekki línurit heldur hringi, spírala og
(trrrrr…. tssss) aðdráttarferla.

Fjöldi vídda í phase space fer eftir því hversu margar breytur þarf að prófa.
En með notkun þess er hægt að tákna hvaða kerfi sem er með einum punkti, þó að
staðsetning hans sé gífurlega flókinn. Heilinn til dæmis, hefur um 10 billjón
(milljón til eða frá) heilasellur. Að sýna heilann í phase space er hægt, með
einum punkti, en sá puntkur er staðsettur í 10 billjón víddum!

Að sjálfsögðu þarf að skoða grafið í tveimur víddum, rétt eins og hægt er að skoða
hlið á teningi í tveimur víddum.

En þegar allir hlutar kerfisins eru bornir saman sjást hins vegar innri samskipti
þeirra. Já, gott fólk, við erum komin út í óreiðukenninguna.

Aðdráttarferlar (attractors):
Ímyndið ykkur punkt. Ákveðið ferli sem dregst að þessum punkti er aðdráttarferill.
Hreyfing jarðar kringum sólu er aðdráttarferill. Glerkúla í kúptri skál sem
dregst að miðju hennar er aðdráttarferill. Grafið okkar hér að ofan er það
einnig.

Þessir aðdráttarferlar eru reglubundnir. Til er önnur tegund aðdráttarferla, eða
“strange attractors” (hmm, “skrýtinn” sðdráttarferill?). Þessir ferlar hafa þann
eiginleika að endurtaka sig aldrei… þó að þeir taki alltaf á sig nokkurn veginn
sama form. Það er að segja: Þeir dragast ákveðnum punkti, en stækka og minnka á
víxl, skipta jafnvel um stað öðru hvoru og fara að hringsóla um annan punkt. Það
eru óendanlega margar leiðir sem slíkur aðdráttarferill getur farið, og trúið mér,
hann MUN gera það (sé hann látinn kyrr nógu lengi :) )! Þess vegna er ómögulegt
að teikna þá réttí sinni “fullkomnu” mynd. Þess vegna eru þeir óendanlega langir
á takmörkuðu svæði (þeir fara yfirleitt ekki yfir ákveðin mörk). Þess vegna eru
þeir kallaðir “FRACTAL”.

Fractals:
Nú er komið að lokakafla þessarar greinar, fractal víddir.
Mandelbrot-settið sem er búið að liggja hér í dálítinn tíma er fractal.
Sierpinski-þríhyrningurinn sem ég sendi inn með þessari grein er einnig fractal.

Svo nú skulum við komast að því hvað þetta er.

Fractals eru ekki Evklíðsk form og hafa sína eigin rúmfræði.

Þetta byrjaði allt með spurningunni:
Hversu löng er strönd Bretlands? Hægt væri að mæla það á landakorti með reglu-
stiku. Þegar ströndin yrði mæld aftur, í þetta skiptið væri farið ofaní firðina
eins nákvæmlega og unnt væri, yrði hún óhjákvæmilga mun lengri en í fyrra
skiptið. Ef hún væri mæld á stærra, nákvæmara korti yrði hún enn lengri.

Vandamálið er að hún er of óregluleg til að hægt sé að mæla hana nákvæmlega.
Það þurfti nýja aðferð til að höndla svona vandamál. Og þetta var það sem
Benoit Mandelbrot fékkst við.

Hvað er “fractal”?

a) Það er óendanlega stór hlutur á endanlega stóru svæði.
b) Það líkist sjálfu sér frá öllum viðmiðum. (hefur “self-similarity”)
c) það hefur botnar víddir.

Sökum fávisku mun ég ekki fara mjög nákvæmlega í hvernig fractal víddir eru
gagnlegar (þótt þlr vissulega séu það) eða svara spurningunni um lengd bresku
strandlengjunnar. Ég mun láta nægja að fara í fractal víddir á hlutum sem hafa
algjöra sjálfs-líkingu (self-similarity).

Eins og Sierpinski-þríhyrninginn.

Nú skal líka spurningin “af hverju eru allar rúmfræði-einingar ferningar” dregin
upp. Já, skoðum það aðeins:

Við erum með tvívíðan flöt. Þessi flötur er 1x1 að stærð (lengdar-einingar skipta
ekki máli hér). séu hliðarlengdirnar lengdar um einn (upp í tvo) komast fjórir
ferningar af upphaflegu stærðinni inn í þann nýja.
Sem sagt: lengd = 2. 2^d = 4 (d stendur fyrir dimension (vídd))

d = 2.

Ferningurinn er tvívíður.

Alltílagi, tökum næst þrívíðan kubb:
hliðarlengd = 1. Einn kubbur. hliðarleng sett upp í 2. Nú komast átta kubbar af
upphaflegu stærðinni fyrir í þeim nýja. Svo, það sama og í fyrra dæminu:
lengd = 2. 2^d = 8, d = 3.
Kubburinn er þrívíður.

Reynum þetta með þríhyrning (mynd af þessu dæmi fylgir með):

Hann hefur hliðarlengdina 1 (botninn á honum er skilgreindur 1).
Sé þessi lengd gerð að 2 komast núna þrír þríhyrningar af upphaflegu stærðinni
inn í þann stóra. 2^d = 3. Hmmm… þetta er hægt að reikna með

log(3)
—— = d
log(2)

í þessu tilviki:

d = 1.58496……

Þríhyrningurinn er því ca. 1.58496-víður!
Í þessu tilviki eru litlu þríhyrningarnir ein eining, í staðinn fyrir ferning.
Það má því segja að Sierðinski-þríhyrningur með hliðarlenginda 8cm sé
12.6797cm^1.58496. Ekki sentímetri, ekki fersentímetri, heldur eitthvað mitt á
milli.

Þetta nefnast fractal-víddir. Og þrátt fyrir hversu fáránleg hugmyndin virðist í
fyrstu er þetta virkilega nothæft, til dæmis segja fractal-víddir málms til um
styrkleika hans.

Auk þess má finna fractals alls staðar í náttúrunni, ský, strandlengjur, tré,
steina. Ekkert af þessu er “raunverulegt” fractal (það takmarkast t.d. við stærð
sameinda) en hins vegar er heldur ekki til bein lína eða hringur.

Eftirmáli:
Fyrir þá sem vilja skoða mandelbrot-settið (sem er eitt þekktasta fractalið)
til hlítar geta náð í forritið mitt á http//:www.sourceforge.net/peojects/fractical.
Ég ábyrgist þó ekki að það sé gallalaust eða hreinlega virki yfirhöfuð. :)

Það var ekki Mandelbrot sem fann upp brotnar víddir heldur Hausdorff og því
fractal víddir oft nefndar “Hausdorff-víddir”.

Annars þakka ég bara fyrir mig.