Ég held að það sé ekki vitað alveg nákvæmlega (frekar en með 70% fornmanna). En menn virðast vera á einu máli um að það hafi verið í kringum miðja 6. öld f.Kr.

Þess má geta að ég fer bara eftir Oxford Classical Dictionary. Hún þykir vera afar traust uppflettirit um fornöldina. Samt segir nú líka í henni (eins og víðast hvar annars staðar) að Iulius Caesar sé fæddur 100 f.Kr. þótt líklegra sé nú að hann sé fæddur 102 f.Kr. En það er víst komin einhver hefð fyrir fyrra ártalinu (sem sagnfræðingurinn Theodor Mommsen reiknaði víst út) :)

Það er einfalt: líðandinn hlýtur að vera x.

Jafnan hefur þann eiginleika að hægt er að reikna
út nákvæma staðsetningu á punkti í hringnum,
sama hvar hann er.

ef ég gef x gildið 3 og fer 3 reiti áfram um
x-ásinn, þá þarf ég að finna út y til að fara
upp um y-ásinn. y²+x²=r². til að finna út
y einangra ég það úr jöfnunni (smá algebra)
þannig að y = sqrt(r²-x²)

r = 5, þannig að y = sqrt(25-9) = sqrt(16) = 4
y = 4
punkturinn (3, 4) er því í hringnum og á
FULLOMLEGA réttum stað. Þetta er í sjálfu sér
sönnun á fullkomnum hring í huglægu formi,
rétt eins og þú sagðir.

x getur hins vegar haft hvaða gildi sem er,
svo lengi sem það er meira en -5 og minna
en 5 af vonandi skiljanlegri ástæðu.
x=6
y = sqrt(25-36)
y = sqrt(-11)

Vegna þess að tveir punktar mynda línu. Við verðum að skilgreina hvort að lína sé grunnfyrirbæri eða afleiðing óendanlega margra punkta.
Gott hjá þér að nefna 20 þúsund milljónir punkta því að það er til að leggja áherslu á að það er endanleg tala, á sér upphaf og endi og alveg sama hversu háa tölu maður velur. Þannig verður maður að hugsa um óendanleikann sem annað fyrirbæri en eitthvað sem tengt er tölum!
Ef við takmörkum okkur við punktastærð þá missum við sjónar á því að geta sagt að hringur sé myndaður úr óendanlegum fjölda punkta.

kveðja, loftu

Værir þú þá ekki til í að fræða okkur
steinaldarmennina aðeins?

Ég sé ekki betur en þú hafir sagt einmitt það
ég var að segja með greininni minni.
Svokallaður “punktur” hefur að sjálfsögðu ekki
neina stærð, hann er staðsetning, eða kannski
væri betra að kalla það hnit.

En til að búa til hring, í einhverjum öðrum
skilningi en stærðfræðilegum, þarf “punktur”
að hafa stærð, vera ein lítil efnisögn sem hægt
er að raða saman í eitthvað sem lítur út eins og
hringur.

PS: ég er hvorki í menntaskóla né að læra
heimspeki, svo bara fyrirgefðu hversu óhemjuvitlaus
ég er.

Ég vil fyrst kannski benda þér á að lesa bókina “Three ways to quantum gravity” eftir Lee Smolin, en þessi bók gefur nokkuð góða lýsinga á því sem fræðilegir eðlisfræðingar eru að fást við í dag á þessu sviði og hún er skrifuð til þess að hinn almenni ágætlega vel þenkjandi borgari geti skilið helstu útgangspunktanna, frábær bók.
Þetta með tímann er góð spurning. Mig minnir (takið viljan fyrir verkið) að helstu röksemdarfærslur fyrir því að rúmið sé skammtað var að sammfellt rúm veldur því að einum atburði er hægt að skipta niður í óendanlega marga litla atburði. Óendanlegu mörgu litlu atburðirnir innihalda enga orku, eða endanlega orku. Ef þeir innihalda enga orku, þá sést að enga orku þarf til að framkvæma atburðinn því óendanlega summa af núlli er núll, og það gengur auðsjáanlega ekki upp. Hinn möguleikinn er að hver af þessum litlu óendanlega mörgum atburðum hefur endanlega orku, en óendanleg summa af endanlegri stærð, hversu lítil sem hún er, hlýtur að vera óendanleg, en það getur auðsjáanlega ekki kostað einhvern atburð óendanlega mikla orku að gerast, því þá mundi ekkert gerast í alheiminum.
Hægt er að sneiða fram hjá þessu vandamáli með því að hugsa sér að rúmið sé skammtað og því er ekki hægt að skipta einum atburði í óendanlega marga litla atburði, heldur bara endanlega marga litla atburði sem hafa allir endanlega orku, og því hefur frumatburðurinn líka endanlega orku.
En þá liggur kannski beint við að álykta með nokkuð góðum rökum að tíminn sé líka skammtaður.

kv
skl

Miðgarður:

Já, einmitt.

Kannast því miður ekki við tilraunina sem þú nefnir.

Ég hallast persónulega að því að heimurinn sé, þrepakenndur. Það er kannski það sem átt er við þegar talað erum að hann sé skammtaður. (Ég kannast við hefðbundna skammtafræði; ég er að vísa til efnis, tíma osfrv, ss alls.)

Kv
VeryMuch

Ætli það fari ekki best á því að telja upp flokka talna, eða mengi talna. Og þar með útskýrt óræðar tölur, ma “kvaðratrótnina af 2”:

Fyrst er að nefna mengi náttúrulegra talna, oftast táknað með stóru enni “N”: Þær eru tölurnar sem við notum þegar við teljum.

N: {0, 1, 2, 3, …}

Þar á eftir kemur mengi heilra talna, táknað “Z”. En mengi náttúrulegra talna “N” er hlutmengi í Z. Þeas er einnig innifalið í mengi heilra talna.

Z: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

En menn voru fljótir að átta sig á því að þetta eru ekki allar tölur mögulegar. Það er td erfitt að skrifa útkomu 3/4 á annan hátt, nema etv 0,75.

En þær tölur sem eru á forminu a/b, þegar a er hvaða heiltala sem er, og b er hvaða heiltala sem er NEMA NÚLL; er í mengi brota sem táknast með “Q”.

Q: {a/b}, þegar a er hvaða tala í mengi Z og b hvaða tala í mengi Z sem er EKKI NÚLL.

Ætla mætti að hér væru allar tölur komnar, en ekki alveg. Næst kemur mengi rauntalna, táknað “R”. Skilgreiningin á þeim flokki er einföld.

R: {Allar tölur á talnalínu.}

En ef mengi rauntalna væri ekki til staðar, þe engar rauntölur væru skilgreindar, væru göt í talnalínunni.

Í mengi rauntalna eru einmitt hinar ÓRÆÐU TÖLUR, eða irrational numbers, upp á engilsaxnesku. En rauntölur skiptast ss í ræðar og óræðar tölur, þe rational og irrational numbers.

Hinar ræðu tölur eru í raun skilgreindar nú þegar fyrir mengi Z. Þe ræðar tölur eru þær tölur sem eru í mengi Z. Þe brot og heilar tölur. En hinar óræðu tölur voru einmitt þær sem vantaði til að fylla í götin á talnalínunni.

Það er etv ekki verra að nefna þá tvo flokka sem brot skiptast í.

1. Tölur eins og 3/4 sem má skrifa sem 0,750000…; þe hún endar á endalausri röð af núllum.

2. Tölur eins og 23/11 sem má skrifa 2,09090909… þe tala sem endar á endurteknu mynstri. Þessa tölu mætti skrifa 2,09 (og setja strik yfir “09” til að tákna endurtekið mynstur.)

Það er kannski einfaldast að segja að óræðar tölur enda ekki á endalausri runu af núllum, né að það sé hægt að sjá e-ð mynstur útúr endingu þeirra.

Pí er einmitt einstaklega þekkt dæmi um óræða tölu, en hún hefur einmitt ekkert mynstur í endingu sinni. Ég veit þó ekki hvort það hefur verið sannað, að svo sé. Þe að pí sé fullkomlega óregluleg.

Kvaðratrótin af 2 er einmitt ein af þessum tölum sem endurtaka sig ekki. En það er hægt að sanna að hún er rauntala. Hún er einnig notuð til að sanna tilvist óræðra talna.

————————————————–

Mér þykir einmitt sönnunin á því að “kvaðr.2” er á rauntölulínunni einstaklega flott:

-Ímyndum okkur rauntölulínuna (ég get ekki teiknað).

-Dögum svo línu með lengdina 1 hornrétt upp úr “0”, núllpunktinum. (Gildir einu hvaða punktur).

-Drögum svo línu eftir rauntölu-línunni, frá núlli í einn.

-Við erum ss með tvær línur með lengdina 1, sem eru hornréttar hvor á aðra, þe spanna 90°.

-Við drögum svo línu á milli enda beggja línanna. Þe frá einum og í toppinn á línunni sem liggur hornrétt á rauntölulínuna.

-Við höfum nú myndað rétthyrndan þríhyrning, með tvær skammhiðar, sem eru “1” að lengd. En pýþagórasarreglan gefur okkur að langhliðin er kvaðratrótin af 2. (Það er mikilvægt að sjá þetta fyrir sér því þetta er myndræn sönnun.)

-Af myndinni sem upp er dregin, má sjá að langhlið þríhyrningsins, má fella niður á rauntölulínuna. En hún hefur einmitt lengdina “kvaðratrót af 2”.

-Þar með er sýnt og sannað að “kvaðratrótin af 2” er tala sem er á rauntölulínunni.

————————————————–

Kvaðratrótina af 2 má einnig nota til að sanna tilvist óræðra talna.

Það er gert með óbeinni sönnun.

————————————————–

Hugsum okkur jöfnu: x^2=2 ; og x=“kvrrót af 2”;

-Gefum okkur að “kvrrót af 2” sé ræð tala (rational number), sem hægt sé að tákna sem fullstytt brot.

-Eins og a/b, þar sem a og b eru heilar tölur, og ekki með sameiginlega þætti stærri en 1. (Sem þýðir í raun að a og b eru prímtölur en ekki sama talan).

“kvrr af 2” = a/b

=> 2 = a^2/b^2

=> a^2 = 2b^2

=> a^2 er slétt tala. Þar sem annað veldi af oddatölu er ávallt oddatala. (sjá “2b^2” sem er slétt út af “2”.) Talan “a” hlýtur því að vera slétt tala.

Látum.. a = 2c

=> (2c)^2 = 2b^2

=> b^2 = 2c^2 Sem sýnir að “b” er slétt tala.

-Þal eru bæði “a” og “b” deilanleg með “2”.

-En það er einmitt í mótsögn við: “a og b eru heilar tölur, og ekki með sameiginlega þætti stærri en 1”.

-Þal er fullyrðing okkar í upphafi sönnunar: “-Gefum okkur að ”kvrrót af 2“ sé ræð tala (rational number), sem hægt sé að tákna sem fullstytt brot.” – RÖNG.

-Og þar sem “kvrrt af 2” er EKKI ræð tala, hlýtur hún að vera ÓRÆÐ tala.

-Þar með er sannað að kvaðratrótin af tveimur er ræð tala og að ræðar tölur eru til.

————————————————–

Það er auðvitað vonlaust að ætla að koma svona sönnunum almennilega frá sér, þegar maður hefur ekki almennileg tákn.

Enginn ætti að vera neitt vonsvikinn að hafa ekki skilið þetta. Framsetningin hjá mér er fullkomlega óásættanleg í fyrstalagi; auk þess þarf þó nokkra grunnþekkingu í stærðfræði til að ná þessari sönnun. Auk þess að vita hvernig óbein sönnun virkar, en ég nenni ekki að útskýra það hér og nú.


En þegar allt kemur til alls er kvaðratrótin af tveimur tala sem er ekki hægt að skrifa með aukastöfum. Hana verður að tákna með tölunni “2” og með kvaðratrótarmerki. Eins og pí þarf að tákna með grískum bókstaf sem kallast pí.

En kvaðratr af 2 er ca 1,414213562 og gamla góða PÍið er ca 3,141592654.

Þess má geta að lokum, að til er enn annar flokkur af tölum, kallaðar þvertölur, eða complex numbers, sem er enn annar flokkur talna sem gefa jöfnum eins og “x^2+2=0” lausnir. En þessar lausnir er ekki hægt að fá nema að leift sé að taka kvaðratrót af neikvæðum tölum.

En ég ætla að hlífa þeim, sem hafa enst í að lesa þetta, við því að fara út í þá sálma. ;)

Kv
VeryMuch

Lína er það sem við ímyndum okkur þegar við sjáum
tvo samliggjandi punkta. Stærðfræðilega séð er
lína alltaf milli tveggja punkta.

Og stærðfræðin hefur alltaf rétt fyrir sér,
stærðfræðilega séð :)

Reynar er vinur minn ad lesa sér til um þetta sér til gamans. Þetta er bara smábrot sem ég man eftir að hann hafi sagt mér..Ég hef aldrei lært skammtafræði :)

Sæll, ég er ekki að svara þessu, heldur datt mér í hug að möguleg fullkominn kúla byggist á sveigðri línu. Línan er sveigð í kringum einn þyngdarpunkt og umlykur hann sem hringur. Skv. skilgreiningu liggja allir punktar línunnar óendanlega þétt upp að hver öðrum.

M.