Mig langar að segja ykkur frá grein sem heitir “Það sem skjaldbakan sagði við Akkilles”. Hún er eftir breska stærðfræðinginn og rökfræðinginn Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898) sem er betur þekktur undir rithöfundanaffni sínu Lewis Carroll og fyrir að hafa skrifað þá stórgóðu barnabók Lísu í Undralandi. En allt um það. Í grein þessari ræðast við kappinn gríski Akkilles og skjaldbakan sem þreytti við hann kapphlaup í þverstæðu Zenons frá Eleu (uppi á 5. öld f.Kr.).

Skjaldbakan og Akkilles ræða um flatarmálsfræði Evklíðs og skjaldbakan setur fram ákveðna rökfærslu. Hún er svona:
(A) Hlutir sem eru jafnir því sama eru jafnir hvor öðrum.
(B) Tvær hliðar þessa þríhyrnings eru hlutir sem eru jafnir því sama.
Af því leiðir að:
(Z) Tvær hliðar þessa þríhyrnings eru jafnar hvor annarri.
Og á þetta fellst Akkilles að sjálfsögðu. Enda virðist þetta liggja í augum uppi. Eða hvað?

Nú setur skjaldbakan fram vandamál fyrir Akkilles. Það er svona: Einhver gæti neitað að fallast á að (A) og (B) væru sannar (og í því tilviki ætti hann helst að dunda sér bara í fótbolta en sleppa því að fást við Evklíð)en hann gæti samt játað að EF (A) og (B) væru sannar þá væri (Z) sönn. Og enn er allt í besta lagi og Akkilles fellst á þetta. En hvað ef einhver játaði að (A) og (B) væru sannar en neitaði að (Z) væri sönn?

Nú er Akkilles í vanda. Hann þarf að sannfæra skjaldbökuna, sem játar að (A) og (B) séu sannar, um að (Z) sé sönn. En því trúir skjaldbakan ekki. Hann spyr hvort það sé virkilega skoðun skjaldbökunnar að (A) og (B) séu sannar en ekki að
(C) Ef A og B eru sannar, hljóti Z að vera sönn.
Og skjaldbakan játar það. Þá segir Akkilles að hann geti lítið gert annað en að biðja skjaldbökuna um að fallast á (C) líka.

Skjaldbakan gerir það. En samt neitar hún að (Z) sé sönn. Akkilles neyðist því einnig til að biðja hana um að játa
(D) Ef A og B og C eru sannar, hlýtur Z að vera sönn.
Og skjaldbakan gerir það. En eftir sem áður neitar hún að (Z) sé sönn. Svo að Akkilles verður enn að biðja skjaldbökuna um að fallast á nýja setningu, núna
(E) Ef A og B og C og D eru sannar, hlýtur Z að vera sönn.
Og svona halda þau Akkilles og skjaldbakan áfram út í hið óendanlega.

Glöggur lesandi hefur nú tekið eftir að þetta er hægt að gera við hvaða afleiðslu-rökfærslu sem er. Það er alltaf hægt að neita niðurstöðunni og biðja í sífellu um fleiri nýjar forsendur sem eru skilyrðissetningar á borð við (C), (D) og (E) hér að ofan. Nú er spurningin, er einhver lausn á þessari vítarunu. Eða gerir hún kannski ekkert til? Ég held persónulega að ekki sé hægt að losna við þessa vítarunu, en ég held samt að hún sé skaðlaus. En þessi saga af Akkillesi og skjaldbökunni getur samt sem áður fengið mann til að efast pínulítið um gildi raka almennt; hvernig verður nokkurn tímann vitað með fullkominni vissu um að einhverja setningu leiði af einhverjum öðrum röklega? Kannski verður það bara aldrei vitað?

Viðauki:
Grein Lewis Carrolls, “Það sem skjaldbakan sagði við Akkilles” er að finna í íslenskri þýðingu Guðmundar Heiðars Frímannssonar í Hug, tímariti um heimspeki, 8. árg. (Reykjavík; Félagi áhugamanna um heimspeki og Heimspekistofnun HÍ, 1996) bls. 100-103.