Eru raunverulegar tilviljanir mögulegar? Hvað meinum við yfirhöfuð með orðinu
“tilviljun”?

Venjulega er átt við eitthvað sem gerist án nokkurrar sýnilegrar ástæðu, eða
án nokkurrar ástæðu yfirhöfuð. En samkvæmt reynslu okkar virðist veröldin í
kringum okkur vera “lögbundin”, þ.e. allt sem gerist hefur einhverja orsök.
Þetta er líka það viðhorf sem raunvísindin byggja á. Yfirleitt er líka gert
ráð fyrir að sérhver orsök hafi eina og aðeins eina afleiðingu. Þetta viðhorf
er jafnan nefnt “löghyggja”. Ef gert er ráð fyrir fullkominni löghyggju væri
hægt að vita allt sem á eftir að gerast, ef öll lögmál heimsins og núverandi
staða hans væru þekkt. Að sjálfsögðu er engin leið að sýna fram á að fullkomin
löghyggja gildi, en það er augljóst að nokkur regla einkennir veröldina okkar.

Til er grein innan stærðfræðinnar sem kallast líkindafræði, sem byggir einmitt
á því að gera EKKI ráð fyrir fullkominni löghyggju. Þá er í raun gert ráð
fyrir að hver orsök geti átt sér margar afleiðingar og að við vitum ekki hver
þeirra leiðir af upphaflegu orsökinni. Í því tilfelli þarf því í raun að gera
ráð fyrir öllum möguleikum og ekki taka neinn möguleika fram yfir annan. Þá
tölum við um að atburðirnir hafi “jafnar líkur”. Raunar er nokkuð forvitnilegt
að athuga það að hefðbundin líkingafræði gerir enga tilraun til að skýra hvað
“líkur” raunverulega eru, heldur lýsir hún einungis reikningunum sem þarf til.
Líkindafræði stærðfræðinnar er einungis reiknilíkan.

En það er að sjálfsögðu mögulegt að kerfi geti fallið að þessu reiknilíkani án
þess að vera raunverulega “tilviljanakennt”, þ.e. það sé í raun lögbundið.
Það er því freistandi að setja fram einhvers konar skilgreiningu á “lögbundinni
tilviljun”.

Eitt besta dæmið um slíkt kerfi er venjulegur teningur. Þrátt fyrir að teninga-
kast sé lögbundið ferli hagar teningur sér þannig að hrein tilviljun virðist
ráða því hvaða hlið kemur upp, þ.e. hann sé ekki lögbundinn. Og því oftar sem
honum er kastað, því betur virðist hann falla að reiknilíkani líkindafræðinnar.

Hér er tvennt sem þarf að athuga:
1) Teningakast er ákaflega flókið ferli og erfitt að þekkja alla þætti þess.
2) Niðurstaða kastsins, þ.e. talan á teningnum, er ekki í neinu rökréttu
sambandi við kastið. Þær upplýsingar sem lýsa kastinu (þ.e. eðlisfræðin) hafa
enga MERKINGU í kerfinu sem við köllum tening.

Við getum skilgreint “tening” sem hvaða kerfi sem er sem skilar tölu frá 1 upp
í 6. Til þess að ákvarða niðurstöður teningsins hverju sinni þurfum við að
velja kerfi sem að skilar gögnum til teningsins og ákvarðar hvaða hlið kemur
upp (eða hvaða tala er valin). Ef að þessi gögn hafa enga merkingu í kerfi
teningsins má segja að um tilviljun sé að ræða.

Við setjum því fram skilgreiningu okkar:
Gefum okkur tvö kerfi, A og B.
Gerum ráð fyrir að A sé algjörlega háð B, þ.e. að atburður í A gerist vegna
orsakar í B. Gerum einnig ráð fyrir að upplýsingar úr B hafi enga merkingu í A.
Þá má gera ráð fyrir A sé tilviljanakennt.

Til að skýra þetta skulum við taka dæmi:
Ímyndum okkur að tölva velji tölu til að ákvarða teningakast. Talan sem kemur
á teninginn er fyrsti tölustafur tölunnar sem tölvan velur. Hér er um augljóst
orsakasamband milli tenings og tölvu að ræða og upplýsingarnar sem tölvan velur
hafa augljósa merkingu í kerfi teningsins. Hér er því ekki um tilviljun að
ræða.

Ímyndum okkur síðan að tölvan safni upplýsingum um hreyfingu músar og geymi í
skrá sem hún notar síðan til að ákvarða næstu tölu teningsins. Þá er
teningurinn tilviljanakenndur. Við sjáum til dæmis að “hreyfing í 30° til
hægri með hraðanum 30 pixel / sek” þýðir ekki “6” skamkvæmt neinum skynsamlegum
rökum, þrátt fyrir að það sé hugsanlega niðurstaða teningsins, sé músin hreyfð
á þennan hátt. Við ákváðum heldur aldrei hvernig tengslin milli hreyfingar
músar og útkomu teningsins voru, heldur breyttum við bara þeim gögnum sem músin
veitti tölvunni í tölu sem ákvarðar útkomu teningsins. Gögnin þurfa sjálf ekki
að hafa verið í töluformi upphaflega.

En við sjáum að það að eitthvað “hafi enga merkingu” í einhverju samhengi er
ekki sérlega vel skilgreint. Í okkar tilgangi er þessum eiginleika náð ef að
orsakasamhengið er nógu óskynsamlegt, nógu flókið og nokkurnveginn algjörlega
óviðkomandi því sem við erum að gera.

Tökum annað dæmi:
Kennari þarf að semja krossapróf. Hann þjáist hins vegar af því að geta ekki
valið rétta krossa án þess að einhver regla sjáist í valinu. Til dæmis fellur
hann í þá gryfju að láta aldrei sama númer gefa rétt svar tvisvar í röð, og það
kemur óvenjulega oft fyrir að svar númer 3 er rétt ef númer 2 var rétt í
krossinum á undan. Nokkrir nemendur eru farnir að þekkja mynstrin hans
(jafnvel þau sem hann veit ekki af sjálfur og getur því ekki komið í veg
fyrir).

Hann bregður því á það ráð að semja fyrst allar spurningarnar og alla
svarmöguleika. Síðan raðar hann svarmöguleikunum fyrir hverja spurningu í
stafrófsröð eftir síðasta staf svarsins.

Hér munu nemendur líklega ekki sjá neina reglu á svörunum, því gera má ráð fyrir
númer síðasta stafs setningar í stafrófinu hafi ekki neitt með innihald hennar
að gera. Því má segja að dreifing réttu svaranna sé tilviljanakennd. Hefði
hann raðað eftir fyrsta stafnum er líklegra að nemendur hefðu séð regluna í
svarmöguleikunum - en það hefði þó líklega ekki hjálpað þeim neitt.

Í þessu dæmi skiptir auðvitað mestu máli að kennarinn velji reglu sem ekki er í
samhengi við innihald svaranna, og það sýnir vel hvernig skilgreiningin okkar
virkar.


Tilviljanir og tölvur
Í nútímatækni skiptir miklu máli að geta framleitt handahófskenndar (random)
tölur eftir pöntun. Í dulkóðun er t.d. oft afar mikilvægt að framleiða slembi-
tölur í miklu magni. Til þess þarf að sjálfsögðu að nota tölvur. En það er
auðvelt að sjá hversu erfitt það getur verið framleiða eitthvað handahófskennt
með einhverju sem er eins algjörlega lögbundið og tölvan er.

Af þessari ástæðu hafa orðið til svokallaðar “slembitöluvélar” (random number
generators) til þess að sinna þessari þörf. Einnig hefur hugtakið “næstum
random” eða “pseudo-random” orðið til. Pseudo-random slembitöluvélar byggja á
því að taka við einhverju inntaki sem er valið af handahófi og skila niðurstöðum
sem byggja á nógu skrýtinni reglu til að geta virst handahófskenndar. Í raun
er þó “meiri regla” á úttaki vélarinnar er inntakinu, sem virðist ekkert
sérlega hentugt, en kosturinn er sá að mun auðveldara og hraðvirkara er að
framleiða pseudo-random tölur. Vert er að athuga að fyrir gefið inntak skilar
pseudo-random vél alltaf sömu niðurstöðu svo að mikilvægt er að velja inntakið
vel (pseudo-random er í raun alls ekkert random!).

Við tökum eitt dæmi um pseudo-random vél (eða formúlu). Þessi vél nefnist
“línulegt leifa-ferli” (linear congruential generator, skammstafað LGC):

v[i+1] = A * v + B (mod M)

Hér stendur “mod” fyrir "leifina þegar M er deilt upp í A * v + B". v[0]
er hér inntakið, yfirleitt nefnt “sæðisgildi” (seed value) og er valið af
handahófi (algengt er t.d. að nota klukkuna í tölvunni, sé um slíka að ræða).
Tölurnar v[0], v[1], v[2], o.s.frv. eru þá úttök vélarinnar og A, B og M eru
einhverjir fastar (helst stórir). Hér er um mjög lélega slembitöluvél að ræða.
Hún virkar t.d. ekki í dulkóðun því séu nógu mörg gildi þekkt má giska á næstu
gildi. Hún virkar ekki sérlega vel í tilraunir sem varða líkindatilraunir
(þótt að niðurstöðurnar séu oft ekki svo fjarri lagi), en hún virkar afbragðs-
vel í tölvuleiki og í allt sem viðkemur mönnum, sem ekki hafa að áhugamáli að
ráða í slembitöluvélar. Kosturinn við hana er að hún er einföld og kostar
lítið af minni og keyrslu. Það má nefna að Game-Boy Tetris® notar þessa
aðferð við að velja kubba (reyndar hefur verið sýnt fram á að sumar stærðfræði-
setningar sem gilda venjulega um tetris gilda ekki um Game-Boy Tetris út af
einmitt þessari ástæðu).

Það er afar erfitt að sjá regluna í tölunum, sem er kostur. En hún er þarna
engu að síður. Hér er úttak LGC fyrir v[0] = 1, A = 12345, B = 986534 og
M = 22334456:

998879 12359045 16096099 22110273 1914735
19445853 17648563 19642585 5097655 10188365
16240251 14910233 16335703 9539005 9129787
11672377 17441951 15145429 9599299 16422169
20490599 7801589 13231291 20844401 13516615
14325133 14057235 19107657 3579503 11883029
20392251 22090609 4841671 5975925 22299579
9362137 21222759 2941333 8906379 7590449
4256631 4438157 11931027 9897249 2677935
2505933 914563 21197457 10022271 4997061
19084971 13868761 21931295 3542469 1387419
225561 16064535 12138445 2010019 12000665
20869031 4891581 12332819 5018513 15896439
20849477 9176467 7241121 9104223 8767181
8944251 6096713 17018887 9852085 3489755
20666769 9426263 2066069 11569779 1599177
16829431 16135645 18947611 15578217 7680431
13944333 10068739 20283121 14948119 15014797
5028091 130113 21485143 3575693 9517491
11552929 16930487 12942429 12773259 8225761

Tölurnar alltaf eru á bilinu 0 til M. Vert er að athuga að tölurnar byrja að
endurtaka sig eftir í mesta lagi M skipti, sem er óheppilegt.

LGC er einfaldasta og lélegasta slembitöluvél sem til er. Til eru töluvert
flóknari og betri pseudo-random vélar. Þær krefjast þó yfirleitt mun meira
minnis en LGC (og myndu því ekki virka á Game-Boy®). Þær eru margar hentugar í
hluti sem krefjast “handahófskenndari” talna.

Það er þó til betri leið til að framleiða handahófskenndar tölur á tölvu. Sú
aðferð felst í að safna upplýsingum frá lyklaborði og mús ásamt öðrum upplýsingum
sem tölvan hleður inn á sig, safna öllu draslinu saman í skrá og “hræra” síðan í
henni. Dæmi um upplýsingar sem að tölvan tekur við er tíminn sem líður á milli
slaga á lyklaborðið, og tímasetningar á milli músarsmella. Í raun er hægt að
notast við öll ferli sem er stýrt af notanda á einhvern hátt.

Samkvæmt skilgreiningu á “lögbundinni tilviljun” má þessi aðferð kallast full-
komlega handahófskennd þar eð aðferðin sem tölvan notar hefur ekkert vald yfir
því hvernig notandinn hegðar sér og upplýsingarnar sem hann gefur frá sér
(ómeðvitað) eru ekki í neinu rökréttu samhengi við tölurnar sem vélin
framleiðir.

Að gera þetta er þó töluvert flóknara en það hljómar. Yfirleitt þarf að nota
nokkrar aðgerðir á gögnunum sem að tölvan safnar bæði til að hræra upplýsingunum
saman og til að framleiða nógu mikið af tölum til að ferlið geti talist nothæft.
Þá eru yfirleitt notaðar pseudo-random aðferðir til að framleiða tölur. Inn-
takið er þó alltaf nógu handahófskennt til að tölurnar geti kallast raunveru-
lega handahófskenndar. Þetta ferli er því nothæft í allt sem þarf á slembitölum
að halda. Það hentar því t.d. í dulkóðun, en fæstar pseudo-random vélar eru
nothæfar í dulkóðun.


Tilviljanur í eðlisfræði
En það eru ekki bara fjárhættuspilarar og tölvunerðir sem hafa áhuga á
tilviljunum og líkum. Líkindafræði gegnir nú stóru hlutverki í skammtafræði.
Dæmi um þetta er að ekki er hægt að spá fyrir um stöðu rafeindar nákvæmlega, en
hægt er að reikna út líkur á því að hún sé á tilteknum stað á tilteknum tíma.
Þetta er hugsanlega neitun á fullkominni löghyggju. Skammtafræðingar gera í
raun ráð fyrir að ein orsök geti haft mismunandi afleiðingar.

Í raun er ekki hægt að vita hvort að rafeindir hagi sér tilviljanakennt eða
hvort að við getum hreinlega ekki öðlast þær upplýsingar sem þarf til að spá
fyrir um útkomuna. Það er ákveðið lögmál, sem nefnist “óvissulögmálið” sem
veldur því að við getum ekki vitað stöðu og hreyfingu agnarinnar nákvæmlega.
Til að mæla stöðu agnarinnar þarf að beina ljósgeisla að henni. En ljósið
geislar orku til agnarinnar sem hefur áhrif á hraða hennar - mælingin hefur
áhrif á niðurstöðuna. Það eru því takmörk fyrir því hversu vel er hægt að mæla
hraða og stöðu agnarinnar. Við getum því ekki vitað nákvæmlega hvernig hún
hegðar sér og því ekki komist að endanlegri niðurstöðu um hvort að hreyfing
öreindar er í raun lögbundin eða háð líkum.

En það áhugaverða er að fyrir hvorn möguleikann sem er er líkindafræðin ákaflega
hentug til að fást við þessa hluti. Rafeind hreyfist svo hratt í kringum
róteind að það lítur út fyrir að hún sé á öllum stöðum samtímis, sem hún getur
verið á (sem líklegt er að hún sé á). Ef að hreyfing rafeindar er lögbundin
gildir það sama með hana og öll ferli sem við getum ekki öðlast nægar
upplýsingar um (hér veldur óvissulögmál Heisenbergs því að það er RAUNVERULEGA
engin leið að öðlast þessar upplýsingar), við GERUM RÁÐ FYRIR að það sé háð
líkum.

Spurningin er þá: Er um lögbundna tilviljun eða “raunverulega” tilviljun að ræða?
En til er jafnvel skemmtilegri spurning: Myndi einhver sjá muninn?