Um mengi, algebru og firðrúm

Flestir vita hvað er mengi. Mengi er samansafn af stökum. En hvað eru stök?
Ég fer ekki frekar í saumana á þessum hlutum hér og sleppi því að setja fram
nákvæma skilgreiningu á því hvað mengi er. Ég geri ráð fyrir að menn hafi það
á tilfinningunni hvað það er. Til dæmis, þegar talað er um mengi af öllum bris-
kirtlum, þá er einfaldlega átt við safnið af öllum briskirtlum. Það má því segja
að orðið “mengi” sé ekkert annað en samheiti orðsins “safn”. Orðið “stak” merkir
þá bara eitthvað sem er í tilteknu mengi. Í dæminu hér að ofan væri því einhver
briskirtill stak í mengi allra briskirtla.

Jæja, það er til grein innan stærðfræðinnar sem nefnist mengjafræði. Í grófum
dráttum fjallar hún um tengsl milli mengja. Það kemur í ljós hvað þarf til þess
að tvö mengi séu eitt og sama mengið. Einnig kemur í ljós hvað þarf til þess
að sýna að eitt mengi sé innihaldið í öðru mengi. Síðan er fjallað um eitthvað
fleira í svipuðum dúr.

En satt best að segja þá er eiginlega hálf þurrt að vera að rannsaka mengin
ein og sér, ef svo má að orði komast; það er ekkert gaman að skoða mengin
ein og sér. Það er eitthvað sem vantar, svo að menn geti haldið áfram að
handfjatla við mengi, með góðu móti. Af þessu ástæðum hafa stærðfræðingar
búið til varpanir á milli mengja. Það eru einmitt varpanirnar sem gera mengin
svo skemmtileg. Og það er af vörpununum, sem að tvær mismunandi greinar
stærðfræðinnar eru uppsprottnar: Annars vegar er það algebra og hins vegar
eru það fræðin um firðrúm.

Í algebru taka menn eitthvað mengi A. Síðan skilgreina menn vörpun frá
margfeldismenginu A x A inn í mengið sjálft. Fyrir leikmanninn merkir þetta
að vörpunin tekur einhver stök a og b og varpar þeim inn í eitthvað stak
c í A (athugið þó að það skiptir almennt máli í hvaða röð stökin a og b eru
talin upp.) Jæja, vörpun af þessu tagi nefna menn reikniaðgerð á menginu A.
Svo geta menn leikið að sér að láta þessa reikniaðgerð hafa tiltekin skilyrði.
Til dæmis hafa menn komið sér saman um nokkur skilyrði á slíka reikniaðgerð,
og þá segja menn að mengið A sé grúpa með tilliti til þessarar reikniaðgerðar.
Ég fer ekkert nánar út í hvaða skilyrði þetta eru hér, en það er samt gaman
að vita að þetta er í sjálfu sér ekkert annað en það sem algebran fjallar um.
Sem dæmi um grúpu mætti nefna mengi heilla talna og reikniaðgerðin gæti verið
hin venjulega samlagning, sem við öll þekkjum mætavel. En takið eftir því að
mengin sjálf hafa enga þýðingu í algebru; reikniaðgerð verður ætíð að fylgja
með. Annars er ekkert gaman að.

Nú skulum við athuga fræðin um firðrúm. Hvað eru firðrúm? Enn og aftur
byrjum við með eitthvert mengi A. En nú gerum við annan hlut heldur en
að skilgreina reikniaðgerð, eins og menn gera í algebru. Þess í stað
skilgreinum við aðra tegund af vörpun. Við skilgreinum vörpun frá meng-
inu A inn í mengi rauntalna! Þessa vörpun köllum við d og látum hlíta
eftirfarandi skilyrðum:
(1) Fyrir öll stök x,y úr A er d(x,y) = d(y,x)
(2) Fyrir öll stök x úr A er d(x,x) = 0
(3) Fyrir öll stök x,y úr A höfum við d(x,y) > 0
(4) Fyrir öll stök x,y,z úr A höfum við d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z)
En nú spyrja ef til vill margir sig: Af hverju endilega þessi skilyrði? Hvað er
það sem gerir þessi skilyrði svona heilagri en önnur, þannig að þau séu
verðugri til þess að taka til athugunar frekar en önnur skilyrði?

Tja, skoðiði aðeins skilyrðin. Kannist þið ekki aðeins við þau, þegar betur
er að gáð? Til að byrja með ætti ég kannski að nefna að orðið “firð” er
bara samheiti fyrir orðið “fjarlægð”. Svo að firðrúm er ekkert annað en
fjarlægðarrúm, ef ég má svo að orði komast. Vörpunin d nefnist firð
mengisins A. En af hverju er d svona mikil fjarlægð?? Enn og aftur: skoðiði
skilyrðin. Fyrsta skilyrðið segir okkur að fjarlægðin frá x til y sé sú sama
og fjarlægðin frá y til x. Alveg afskaplega eðlilegur hlutur. Annað skilyrðið
segir okkur að fjarlægðin frá punkti til sama punkts sé núll. Aftur er þetta
afar eðlilegt. Þriðja skilyrðið segir okkur svo að fjarlægð sé ávallt jákvæð
tala.

Að lokum er fjórða skilyrðið hin svonefnda þríhyrningsójafna. Hún segir okkur
í raun að stysta fjarlægðin á milli tveggja punkta sé um “beina línu” (það er
kannski ekki alveg ljóst hvað bein lína er í þessu samhengi), ef svo má að orði
komast. Það er, ef við veljum einhvern annan punkt og skoðum fjarlægðirnar
frá honum til upphaflegu punktanna og leggjum þær saman, þá fáum við
ætíð stærri tölu heldur en fjarlægðina á milli upphaflegu punktanna. Þetta
þykir okkur afar eðlilegt auðvitað, ef við skoðum fjarlægðir eins og við
skynjum þær. Hugsiði bara um það í smá stund.

Mjög gott dæmi um firðrúm yrði því einfaldlega mengið R^2, það er sléttan,
það er hnitakerfið sem við getum teiknað á sléttan A4-pappír. Þá sjáum við
að hin venjulega fjarlægð, sem allir vita hvað er úr námi í framhaldsskóla og
jafnvel grunnskóla, svo ekki sé nú minnst á hvernig menn skynja almennt, er
ekkert annað en firð á R^2. Hún hlítir augljóslega skilyrðunum hér að ofan (í
stað mengisins A hefur þá bara komið R^2). Og það er auðvitað engin tilviljun;
stærðfræðingar bjuggu firðina til einmitt vegna þessa. Þetta var eitthvað sem
menn könnuðust við. En málið er bara, að menn vildu athuga hvað gerðist ef
þeir myndu alhæfa þetta fyrir eitthvað mengi A.

Og það er þetta sem að fræðin um firðrúm fjalla um. Þau fjalla um mengi, sem
hvert um sig hefur sína tilteknu firð (í raun er ekkert því til fyrirstöðu að mengi
hafi fleiri en eina firð, því það er vel hægt að búa til margar mismunandi varpanir,
jafnvel þótt þær uppfylli skilyrðin fjögur). Svo má búa til varpanir á milli firðrúma,
skilgreina kúlur, samleitni og fleira í þeim dúr. En takiði eftir einu: Þar sem R,
mengi rauntalna ásamt venjulegu fjarlægðinni, er ekkert annað en eitt sértilvik
af firðrúmi, þá er stærðfræðigreiningin, sem menn læra í framhaldsskóla, ekkert
annað en sértilvik af fræðunum um firðrúm, í vissum skilningi!

Jæja, ég vona þá að þið hafið að minnsta kosti einhverja hugmynd um það
hvað firðrúm er. Vonandi tókuði eftir reginmuninum á fræðunum um firðrúm
og algebru: Við erum bara með örlítið mismunandi varpanir, það er allt og
sumt. En þó verða þessar tvær greinar svo gersamlega ólíkar. Og það sem
merkilegt er: þær reynast líka vera nytsamlegar. Til dæmis hefur algebran
reynst afar nytsamleg í eðlisfræði. Dæmi um það er skammtafræðin, sem er
í sjálfu sér ekkert annað en grúpufræði, ef út í það er farið. Dæmi um
hagnýtingu firðrúma hefur þegar komið fram: Hún er bara alhæfing á svo
mörgu sem við þekkjum dags daglega. Sama gildir um algebru, auðvitað.

Ég vona líka að þessi grein hafi valdið ykkur miklu hugarangri vegna þess
hversu mikið að smáatriðum ég sleppti. Ef svo er, og ef að ykkur langar
til þess að kynnast þessum fræðum betur, þá ættuð þið kannski að íhuga
frekara stærðfræðinám. Ég þarf að gera það líka, enda orðinn hundleiður á
því sem ég er að vinna við þessa dagana.

Ég kveð í bili.
Evklíð.