Hér að neðan mun ég fjalla um hvernig má bera saman fjölda einhverra tveggja mengja sem hafa óendanlega mörg stök (hér má alveg eins ímynda sér mengi sem inniheldur óendanlega marga hluti eða hvað sem manni dettur í hug, svo sem mengi allra mögulegra ferða í kringum jörðina).
Ég mun notast við lítinn part af því sem ég skrifaði um rauntölur sem má líka finna hér á Huga. Fyrir lesanda er nauðsynlegt að átta sig á hvaða tölur eru:
Náttúrulegar (heilar og jákvæðar: 1,2,3,4,…)
Heilar (þær náttúrulegu auk neikvæðra heilla)
Ræðar (allar a/b þar sem a og b eru heilar, b ekki núll) og
Óræðar (óræðar tölur eru allar rauntölur sem ekki eru ræðar, séu þær skrifaðar á tugabrotsformi hafa þær óendanlega marga tölustafi og endurtaka sig ekki)
Greinin verður skrifuð til að sem flestir geti áttað sig á viðfangsefninu, en ef einhver vill fá skýrari umfjöllun eða sannanir sem kynnu að vanta mun ég (vonandi) gefa svör, en ég bendi líka á bókina sem ég nefni neðst.

Hvernig getur maður talið óendanlega marga hluti?
Segjum að ég ætli að telja allar náttúrulegar (jákvæðar og heilar) tölur og ég byrja:
1, 2, 3, 4, 5, ……. En eins og þið getið ímyndað ykkur verð ég aldrei búinn að þessu, því tölurnar eru óendanlega margar. Eins og ljóst má vera, þá þurfum við samkvæmt þessu að endurskoða þá aðferð sem við beitum til að telja óendanlega marga hluti.
Skoðum hvaða aðferðir maðurinn hefur beitt til að skoða fjölda:
1. Að númera hvern hlut sem hann telur með náttúrulegu tölunum, þ.e. hann telur þá, 1,2,3…..
Þessari aðferð getum við ekki beitt á óendanlega marga hluti, því það tæki óendanlega langan tíma. Til eru fleiri aðferðir sem gefa ekki jafn nákvæma útkomu en duga þó óendanleg mengi í staðin, ein þeirra gengur út á að bera saman fjölda í tveimur hlutsöfnum (safn af einhverjum hlutum (t.d. safn allra jólasveina)). Við getum t.d. verið með tvo poka sem hvor um sig inniheldur einhvern ákveðin fjölda af kúlum. Til að úrskurða um hvort í einum pokanum séu fleiri kúlur eða jafn margar en í hinum mætti beita aðferð 1. , þ.e. telja kúlurnar í hvorum poka fyrir sig. T.d. í þessum poka eru 13 kúlur en 5 í hinum. Önnur aðferð er til:
Við tökum eina kúlu úr hvorum poka og leggjum þær til hliðar og tökum svo næsta par og svo fr. v. Ef kúlurnar verða fyrr búnar í öðrum pokanum, þá eru færri kúlur í honum en jafn margar kúlur ef við klárum kúlurnar í þeim báðum á sama tíma. Til dæmis: Ímyndum okkur að 3 kúlur eru í poka A en 2 í poka B (gefum okkur að við vitum fjöldann ekki og við viljum bera fjöldana saman). Við tökum eina kúlu í hvorum poka og fleygjum þeim. Þá eru eftir 2 kúlur í poka A en 1 kúla í B. Í næsta skrefi tökum við eina kúlu úr hvorum poka og áttum okkur á því að allar kúlur eru horfnar í poka B en enn eru kúlur (kúla) í poka A. Við ályktum því að í poka A eru fleiri kúlur.
Þessi aðferð virðist þunglamaleg en hún er einföld.
2. Paraðir eru saman hlutir úr hvoru hlutsafni (safni af hlutum) þangað til ekki eru fleiri hlutir í öðru eða báðum söfnum.
Aðferð 2 má beita á óendanleg hlutsöfn, við skulum byrja:
Sýnum fyrst að mengi heilla talna hefur sakvæmt aðferð 2 ,,jafn mörg” stök og mengi náttúrulegra talna. Athugum að allar náttúrulegar tölur eru líka heilar tölur, en auk náttúrulegu talnanna eru í mengi heilla talna neikvæðar heilar tölur: -1, -2, -3, -4 …
Því er ljóst að innsæi okkar segir okkur að fjöldi heilla talna er meiri en fjöldi náttúrulegra talna, því samkvæmt reynslu okkar gildir alltaf að ef þú hefur poka fullan af kúlum og tekur úr honum nokkrar kúlur (ekki allar) þá getur ekki staðist að þær kúlur sem þú tókst eru jafn margar kúlur og voru upphaflega í pokanum. T.d. þú hefur poka með 15 kúlum, tekur úr honum 5 kúlur og sérð augljóslega að 15 er meira en 5. Þessi eiginleiki gildir um endanlega marga hluti en ekki alltaf óendanlega.
Nú ætla ég að para saman öll stök í mengi heilla talna við öll stök í mengi náttúrulegra talna og komast þá að þeirri niðurstöður að í mengjunum eru jafn mörg stök (í skilningi aðferðar 2, yfirleitt er sagt að mengin tvö hafi sömu fjöldatölu eða séu samstétta) .
,,Pörunaraðferðin” er svona:
Náttúrulegu töluna n para ég við heiltöluna n/2 ef n er slétt tala (slétt tala er tala sem má deila í með 2 án þess að fá afgang, t.d. 0,2,4,6……) en ef n er oddatala ( Oddatala: deiling með 2 gefur afgang 1, t.d. 1,3,5,7,……) þá pörum við n við neikvæðu heiltöluna -(n+1)/2. Til dæmis þýðir þetta að 16 er pöruð við töluna 8 en 9987 er pöruð við –4994.
Nú ef einhver vill meina að til sé heil tala sem ekki verður pöruð við náttúrulega tölu með þessari aðferð, bið ég þann um að nefna mér þá tölu. Allar heilu tölurnar hafa verið paraðar við náttúrulegu tölurnar og þessvegna eru ,,jafn mörg” stök í þessum mengjum.

Til eru margar sannanir á því að ræðu tölurnar hafi sömu fjöldatölu og þær náttúrulegu. Hér kann einhverjum að detta í hug að öll óendanleg mengi hafi sömu fjöldatölu, en svo er ekki. Mengi rauntalna hefur ekki sömu fjöldatölu og náttúrulegu tölurnar eins og ég minnist á seinna.
Við sýnum að mengi jákvæðra ræðra talna hefur sömu fjöldatölu og mengi náttúrulegra talna, en þegar sú niðurstaða liggur fyrir er auðvelt að sýna að mengi allra ræðra talna (líka neikvæðra) hefur sömu fjöldatölu og mengi heilla talna og þá sömu fjöldatölu og mengi náttúrulegra talna.

Ein sönnunin gengur út á að númera hverja jákvæða ræða tölu með náttúrulegri tölu:
s1 = 1, s2 = 2, s3 = ½ , s4 = 3, s5 = 1/3, s6 = 2/3, s7 = 4, s8 = ¼, s9 = ¾ , s10 = 5, s11 = 1/5, s12 = 2/5……………. og svo frammvegis. Takið eftir að fyrst eru allar ræðar tölur sem má skrifa með 1 skrifaðar, því næst allar sem má skrifa með 1 og 2, því næst allar sem má skrifa með 1,2 og 3 og svo frammvegis. Eins og áður, ef einhver myndi vilja segja að þessi aðferð virkar ekki, þarf sá að nefna mér jákvæða ræða tölu sem mun ekki verða upp talin með þessari aðferð.

Önnur sönnun byggist upp á því að para ræðu töluna a/b við náttúrulegu töluna 2a3b. Hér þurfum við að sýna að ef a/b ≠ c/d þá sé 2a3b ≠ 2c3d, því annars gætum við verið að para tvær eða fleiri ræðar tölur við sömu náttúrulegu töluna sem við viljum ekki (við viljum ekki para eina tölu við tvær, heldur eina við eina).
Beitum óbeinni sönnun, gerum ráð fyrir að a/b ≠ c/d en að 2a3b = 2c3d þá segir þekkt setning okkur í talnafræði að a = c og að b = d. Við höfum í þessari sönnun sent hverja jákvæða ræða tölu í nákvæmlega eina náttúrulega tölu. Þar sem sérhver náttúruleg tala er ræð tala fæst að þessi mengi hafi sömu fjöldatölu.

Erfitt er að halda áfram án þess að skilgreina átækar og eintækar varpanir og sitthvað fleira sem ég leyfði mér að sleppa til að einfalda hlutina, en þá kæmi í ljós að mengi rauntalna hefur ekki sömu fjöldatölu og náttúrulegu (og þá ræðu) tölurnar (rauntölurnar eru fleiri). Einnig kemur í ljós að mengi óræðra talna hefur ekki sömu fjöldatölu og náttúrulegu tölurnar heldur sömu fjöldatölu og rauntölurnar. Einnig kemur í ljós að mengi rauntalna sem eru minni en 1 en stærri en 0 hefur sömu fjöldatölu og mengi allra rauntalna (og þá ekki mengi náttúrulegra talna).

Óformlega má segja:
Öll þau óendanlegu mengi sem að má raða upp með því að byrja á einhverju staki þannig að á endanum verði öll stök nefnd hafa sömu fjöldatölu og náttúrulega mengið.
Dæmi: Heilu tölurnar: 0,1,-1,2,-2,3,-3,……..
Ræðu tölurnar: 0, 1, -1, 2, -2, ½ ,-1/2, 3, -3, 1/3, -1/3, 2/3, -2/3, 4, -4, ¼ , -1/4, 3/4, …..
Sléttar tölur: 0,2,4,6,8,…… (og odda tölur auðvitað)
Þetta segir okkur reyndar svolítið merkilegt, að ekki er hægt að raða rauntölunum upp á þennan hátt. Athugið að ræðu tölunum er raðað upp á svolítið sérstakan hátt í þessari grein. Sumum kynni að detta í hug: afhverju er þeim ekki raðað upp eftir stærð? Það er ekki hægt, til að sjá það getur lesandi spurt sig, hver er minnsta jákvæða ræða talan ? (hún er ekki til) Eins og sést að ofan er hins vegar hægt að raða þeim upp þannig að allar tölur komi fyrir á endanum. Rauntölunum má samkvæmt þessu, ekki raða upp á neinn hátt þannig að allar komi fyrir.


Aukaefni sem kemur málinu ekkert við:
Þessi staðreynd hér að neðan hefði átt að fljóta með greininni um rauntölur sem er líka hér á Huga.
Sýnum að talan x = 0,9999999999…… sé jöfn 1 . Hér táknar ….. að níurnar halda endalaust áfram. Athugum að 10x – x = 9,99999999… – 0,999999999 = 9
Það er: 9x = 9 og því x = 1
Hvað segir þetta okkur? Talan 1 hefur tvær mismunandi framsetningar á tugabrotsformi og þetta gildir reyndar um hvaða tölu sem er sem hefur endanlega tugabrotsframsetningu (ég held þessu fram, hef ekki fullvissað mig um þetta enn): Dæmi: x = 442,34567 = 442,345669999999……. (10x – x = 3981,11103, sem gefur x = 442,34567 )

Annað atriði.
Ekki er flókið að sanna að ef þið nefnið mér tvær rauntölur (hvaða tölur sem er), þá er til ræð tala sem liggur á milli þeirra.
Þetta er augljóst ef báðar tölurnar sem þið nefnið mér eru ræðar. Til dæmis ef þú nefnir mér ræðu tölurnar a/b og c/d, þá er (a/b+c/d)/2 = (ad+cb)/2bd á milli þeirra (ath þetta er í raun meðaltalið af þeim tveimur). Dæmi: þið nefnið 1/100000 og –1/500000 þá fæst auðveldlega að summa þeirra deilt með 2: 0,000004 er á milli þeirra.
Þetta er hinsvegar ekki jafn augljóst ef báðar tölurnar eru óræðar tölur sem hafa endalausa runu af tölustöfum í tugabrotsframsetningu.

Fyrir áhugasama er fjallað um fjöldatölur (cardinal numbers) á skemmtilegan hátt í bókinni Matters Mathematical eftir Herstein og Kaplansky.