Árni Johnsen er fæddur 1. mars 1944 í Vestmannaeyjum. Foreldrar hans eru Poul C. Kanélas, Detroit, Bandaríkjunum, og Ingibjörg Á. Johnsen fyrrv. kaupkona. Hún átti síðar Bjarnhéðin Elíasson, skipstjóra og útgerðarmann í Vestmannaeyjum.
Fyrri eiginkona Árna heitir Margrét Oddsdóttir. Þau eiga tvær dætur saman, þær Helgu Brá (fædd 1966) og Þórunni Dögg (fædd 1968). Seinni eiginkona Árna, frá 13. desember 1970, er Halldóra Filippusdóttir. Halldóra er fædd 17. febrúar 1941 og starfar sem flugfreyja. Sonur Árna og Halldóru er Breki, fæddur árið 1977.